PDF-версии: 
Четырёхугольник АВCD вписан в окружность с центром О. Известно, что площадь четырёхугольника АОСD равна половине площади АВCD. Найти величину угла между диагоналями АС и ВD.
Решение. Обозначим величину угла между диагоналями четырёхугольника ABCD за θ, тогда его площадь равна 
Обозначим середину диагонали ВD за М, тогда площадь четырёхугольника АМСD равна
Треугольник АCD у четырёхугольников АМСD и АОСD общий, значит, равны площади треугольников АМС и АОС. Основание у треугольников АМС и АОС общее, следовательно, равны высоты из вершин М и О, поэтому прямая МО параллельна прямой АС, откуда угол между АС и ВD равен углу между АС и ОМ. Последний угол равен 90°, как угол между хордой ВD и отрезком, соединяющим середину М этой хорды и центр окружности О. Следовательно, угол между диагоналями АС и ВD равен 90°.
Ответ: 90°.
Доказано, что угол между АС и ВD равен углу между АС и ОМ: 5 баллов. Доказано, что углу между АС и ОМ равен 90°: 2 балла.