В кубе ABCDA1B1C1D1, все рёбра которого равны единице, точка M — середина ребра CC1, точка O — центр грани ABB1A1. Множество точек, лежащих на грани CBB1C1, таково, что для любой точки X этого множества плоскость XOM пересекает ребро AD. Найдите площадь этого множества.
Построим плоскость AOM. Для этого найдём точку пересечения прямой AO с плоскостью BB1C1C. Очевидно, что это будет точка B1. Значит, сечение куба плоскостью AOM пересекает ребро BB1 в точке B1.
Построим плоскость DOM. Для этого найдём точку пересечения прямой DO с плоскостью BB1C1C. Прямые DO и B1C1 лежат в плоскости AB1C1D, а основание AD параллельна стороне B1C1, значит, DO пересекает B1C1. Обозначим их точку пересечения через E, она также лежит в плоскости DOM. Прямая EM также лежит в плоскости DOM и пересекает ребро BB1 в некоторой точке H. Заметим, что треугольники EB1O и AOD равны, значит, 
Треугольники EB1H и EC1M подобны с коэффициентом 2, значит,
Пусть X — некоторая точка искомого множества и плоскость XOM пересекает ребро AD в точке F. Прямая FO лежит в плоскости AB1C1D, а значит точка пересечения G прямой FO с плоскостью BB1C1C лежит на отрезке EB1. Прямая MG лежит в плоскости XOM, причём она заключена между прямыми EM и B1M. Поскольку точка X лежит в плоскостях BB1C1C и FOM, то она лежит на прямой MG, а следовательно — внутри треугольника HB1M, значит, треугольник HB1M — искомое множество
Ответ: 