В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса AL. На продолжении отрезка LA за точку A выбрана точка K так, что 
Описанные окружности треугольников BLK и CLK пересекают отрезки AC и AB в точках P и Q соответственно. Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.
(Д. Ю. Бродский)
Рассмотрим отрезок KL, он является общей хордой окружностей, описанных около треугольников BLK и CLK. Точка A — середина KL, поэтому она лежит на линии центров O1O2 этих окружностей. Продлим BA и CA до пересечения с окружностями в точках C1 и B1, соответственно. В силу симметрии получившейся конструкции относительно прямой O1O2 отрезки AB и AC равны отрезкам AB1 и AC1 соответственно. Введём следующие обозначения:
По свойству секущей
Аналогично, для секущих CB и CB1 получаем
Разделив одно равенство на другое, получим 
По свойству биссектрисы AL треугольника ABC получаем
Отсюда 
или 
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем 
или 
откуда, по обратной теореме о пропорциональных отрезках, следует, что QP и BC параллельны.
Приведем другое решение.
Отметим точки B1 и C1, симметричные точкам B и C относительно внешней биссектрисы угла BAC. Так как эта внешняя биссектриса перпендикулярна KL, она является серединным перпендикуляром к отрезку KL, то есть совпадает с прямой O1O2, соединяющей центры окружностей. Поскольку KL является общей хордой окружностей (BLK) и (CLK), при симметрии относительно O1O2 они переходят в себя, поэтому точки B1 и C1 лежат на (BLK) и (CLK) соответственно. Заметим, что
поэтому 
откуда 
По обратной теореме о пропорциональных отрезках получаем параллельные линии QP и BC.
Это решение можно окончить иначе. Заметим, что из соотношения 
следует, что четырехугольник B1QPC1 вписанный, поэтому
откуда вытекает требуемое.