РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7014 Добавить в вариант

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD и CE. Точка, симметричная точке E относительно прямой BD, лежит на описанной окружности треугольника ABC. Найдите отношение AD : CD.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим точку, симметричную E, через $E в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка .$ Пусть $C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$   — точка, симметричная C относительно высоты BD. В силу симметрии

$\angle B E C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =\angle B E в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A .$

Значит, $\angle A E C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =\angle A.$ Таким образом, треугольник $A E C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ равнобедренный, $A C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =E C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка .$ Далее,

$\angle C E C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A=\angle E C C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$

то есть треугольник $C E C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ также равнобедренный, $C C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =E C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка .$ Итак, $A C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C,$ т. е. $C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$   — середина стороны AC. Ну а поскольку D  — середина $C C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$ то $A D=3 C D.$

Ответ: $A D: C D=3: 1.$

Санкт-Петербургская олимпиада школьников, 9 класс, 1 тур (отборочный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности описанные

Спрятать решение · Помощь