Точки X и Y — середины дуг AB и BC описанной окружности треугольника ABC. BL — биссектриса этого треугольника. Оказалось, что 
и 
Найдите углы треугольника ABC.
По условию
то есть треугольник BLC равнобедренный: 
Кроме этого, 
так что треугольники BLY и CLY равны по трем сторонам, и
Теперь рассмотрим треугольники XAL и XBL. У них есть общая сторона LX, равны стороны 
а также равны углы ALX и BLX. К сожалению, эти углы находятся не между равными сторонами, поэтому первый признак равенства не применим. Однако это означает, что углы XAL и XBL либо равны, либо дополняют друг друга до 
Проще всего объяснить это с помощью теоремы синусов в треугольниках XAL и XBL: 
Bo втором случае четырехугольник AXBL оказался бы вписанным, чего не может быть: точка L не лежит на окружности, проходящей через A, B и X. Следовательно, треугольники XAL и XBL всё же равны и 
Итак, 
т. е. медиана треугольника ABC равна половине стороны AC. Это значит, что треугольник прямоугольный. А поскольку медиана BL совпадает с биссектрисой, он еще и равнобедренный.
Ответ: 
