Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в двух точках X1 и Y1. Окружности с диаметрами ВС и АD пересекаются в двух точках X2 и Y2. Окружности с диаметрами AС и ВD пересекаются в двух точках X3 
пересекаются в одной точке.
(М. Дидин)
I способ. Наряду с каждой точкой M будем рассматривать её радиус-вектор 
где O — центр описанной окружности четырёхугольника ABCD.
Радиус-вектор центра окружности 
построенной на отрезке 
как на диаметре, равен 
а её радиус равен 
Степень точки S с радиус-вектором 
относительно 
равна
(поскольку 
Очевидно, степень точки S относительно 
будет такой же. Значит, S лежит на радикальной оси 
этих окружностей. Аналогично S лежит на 
и 
что и требовалось. Вариация. Пусть K, L — середины сторон AB и CD, а точка S симметрична центру O относительно центра тяжести вершин A, B, C, D . Тогда 
параллелограмм (см. решение 2). Значит,
Это значит, что степени точки относительно окружностей и равны, поэтому S лежит на радикальной оси этих окружностей. Аналогично S лежит на и что и требовалось.
II способ. Теорема Монжа. Перпендикуляры, опущенные из середин сторон вписанного четырёхугольника ABCD на противоположные стороны и из середин его диагоналей на противоположные диагонали, проходят через одну и ту же точку (точку Монжса).
Доказательство. Докажем, что точка Монжа совпадает с точкой G, симметричной центру O описанной окружности относительно центра тяжести S вершин A, B, C, D (S является общей серединой двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, и отрезка, соединяющего середины диагоналей четырёхугольника ABCD).
В самом деле, если 
и 
— середины сторон AB и CD соответственно, то в четырёхугольнике 
диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, он - параллелограмм. Так как 
и 
то 
и 
то есть два перпендикуляра из условия проходят через G. Аналогично через G проходят остальные четыре перпендикуляра. (Случаи, когда O и S совпадают, или какие-то из указанных параллелограммов вырождаются в отрезки, очевидны.)
Перейдём к решению задачи. Если в четырёхугольнике 
есть пара параллельных сторон, то утверждение очевидно, так как в силу симметрии две из прямых будут срединными перпендикулярами к этим параллельным сторонам, то есть совпадут, а третья прямая будет им перпендикулярна. Поэтому далее считаем, что параллельных сторон нет. Пусть 
— — окружность, построенная на отрезке AB как на диаметре, и т. д., — середина AB, и т. д., K — точка пересечения прямых AB и 
Тогда K — радикальный центр окружностей и 
Радикальная ось окружностей и перпендикулярна их линии центров, то есть содержит высоту треугольника 
Значит, проходит через точку пересечения высот этого треугольника — точку Монжа G. Аналогично через эту точку проходят прямые и 