РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 6170 Добавить в вариант

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности описанные, Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Методы геометрии. Теорема Пифагора

В треугольнике ABC проведена высота BH, точка O  — центр описанной около него окружности, длина ее радиуса равна R. Найдите наибольший из углов $\angle BAC,$ $\angle ACB,$ выраженный в радианах, если известно, что $R= левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка умножить на BH=4 умножить на OH.$ При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.

Решение. Будем считать R  =  12, тогда BH  =  10 и OH  =  3. Тем самым треугольник OBH полностью определён, и его площадь по формуле Герона равна:

$S= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 25, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 19, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 95 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Тогда высота O₁ равна:

$O_1= дробь: числитель: 2 S, знаменатель: B H конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 5 корень из: начало аргумента: 95 конец аргумента , знаменатель: 4 умножить на 10 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 95 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Откуда $M H=O H_1= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 95 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Далее по теореме Пифагора:

$OM в квадрате =OH в квадрате минус MH в квадрате =3 в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 95 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате ,$

то есть $OM= дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби .$ Аналогично для AM:

$AM в квадрате =AO в квадрате минус OM в квадрате =12 в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 41 умножить на 55, знаменатель: 16 конец дроби ,$

то есть $A M=M C= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 41 умножить на 55 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$ Так как $A M=M C больше M H,$ то $\angle A C B больше \angle B A C.$ Вычислим угол ACB:

$\angle A C B= арктангенс левая круглая скобка дробь: числитель: B H, знаменатель: H C конец дроби правая круглая скобка = арктангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 10 умножить на 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: 41 умножить на 55 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 95 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка \approx 0,81446 ...$

Заметим, что точка O в данном случае лежит вне треугольника ABC, но все вычисления остаются в силе.

Ответ: 0,81.

6170

0,81.

Олимпиада: Олимпиада Покори Воробьевы горы!

Класс: 11, 10

Тур: 1 тур (отборочный)

Год: 2018

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	6170	0,81.