Даны две непересекающиеся окружности радиуса R. Прямая l1 пересекает первую окружность в точках A и B, а вторую — в точках C и D. Прямая l2 пересекает первую окружность в точках K и L, а вторую — в точках M и N. Известно, что
Найдите R.
Пусть O1 и O2 — центры данных окружностей, а S — середина отрезка между центрами.
Рассмотрим одну из прямых 
или 
обозначим её за ℓ пусть длина отрезков, которые на ней высекают точки пересечения с окружностями, равна 2a. Так как окружности высекают на прямой равные хорды, то расстояния от центров окружностей до ℓ также равны: рассмотрев треугольник с вершинами в одной из точек пересечения окружности с прямой, центре окружности и проекции
центра на прямую, из теоремы Пифагора получаем, что это расстояние равно 
Если центры окружностей находятся с одной стороны от прямой ℓ, то O1O2 параллельна ей, и 
(см. левый рис.). Если же центры находятся по разные стороны от прямой, то она проходит через S (см. правый рис.). Обозначив проекцию O1 на ℓ за 
а одно из пересечений первой окружности с ℓ за 
получаем
Теперь ясно, что каждая из прямых и 
либо параллельна отрезку 
либо проходит через его середину; но обе они быть параллельны не могут, так как тогда 
и обе проходить через середину они тоже не могут, так как в этом случае
Значит, одна из них параллельна O1O2, а другая проходит через S. Меньшее a отвечает второму случаю, так как 
при 
Значит, первая прямая параллельна O1O2, а вторая проходит через S. Тогда
то есть
откуда нетрудно извлечь 
Ответ: 13.