РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Сколько и каких цифр понадобится для того, чтобы записать все натуральные числа от 1 до 10²⁰¹⁷ включительно?

Решение. Рассмотрим сначала все натуральные числа от 1 до

$10 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка минус 1=\underbrace99 \ldots 9_2017 \text штук.$

При этом все числа, в записи которых участвует меньше 2017 цифр, дополним ведущими нулями, чтобы они стали 2017-значными и добавим еще одно число $\underbrace00 \ldots 0_2017 \text штук.$

У нас получилось 10²⁰¹⁷ 2017-значных чисел, для записи которых понадобится 2017 · 10²⁰¹⁷ цифр. При этом здесь каждая из 10 цифр будет использована равное число раз, так как они все совершенно равнозначны. Следовательно, каждая цифра будет задействована 2017 · 10²⁰¹⁶ раз.

Теперь подсчитаем, сколько будет лишних (ведущих) нулей. Однозначных чисел 9, двузначных  — $99 минус 9=90,$ трехзначных  — $999 минус 99=900,$ и т. д. Так как к однозначной цифре мы приписывали слева 2016 нулей, к двузначной  — 2015, и т. д., то общее число лишних нулей, не считая первого числа, которое у нас записывалось как $\underbrace00 \ldots 0_2017 \text штук,$ будет равно

$2016 умножить на 9 плюс 2015 умножить на 90 плюс 2014 умножить на 900 плюс \ldots плюс 2 умножить на 9 умножить на 10 в квадрате 014 плюс 1 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 2015 правая круглая скобка =\sum_k=1 в степени левая круглая скобка 2016 правая круглая скобка левая круглая скобка 2017 минус k правая круглая скобка умножить на 10 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка .$ $2016 умножить на 9 плюс 2015 умножить на 90 плюс 2014 умножить на 900 плюс \ldots плюс 2 умножить на 9 умножить на 10 в квадрате 014 плюс 1 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 2015 правая круглая скобка =$
$=\sum_k=1 в степени левая круглая скобка 2016 правая круглая скобка левая круглая скобка 2017 минус k правая круглая скобка умножить на 10 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка .$

Припишем теперь единицу слева к числу $\underbrace00 \ldots 0_2017 \text штук .$ При этому мы получили все целые числа в промежутке от 1 до 10²017. Мы видим, что для их записи потребовалось $2017 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка$ двоек, троек и т. д. до девяток, $2017 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка плюс 1$ единица и число нулей, равное

$2017 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка минус \sum_k=1 в степени левая круглая скобка 2016 правая круглая скобка левая круглая скобка 2017 минус k правая круглая скобка умножить на 10 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка .$

Ответ: для их записи потребуется $2017 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка$ двоек, троек и т. д. до девяток, $2017 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка плюс 1$ единица и число нулей, равное $2017 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка минус \sum_k=1 в степени левая круглая скобка 2016 правая круглая скобка левая круглая скобка 2017 минус k правая круглая скобка умножить на 10 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка .$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	5688	для их записи потребуется $2017 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка$ двоек, троек и т. д. до девяток, $2017 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка плюс 1$ единица и число нулей, равное $2017 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка минус \sum_k=1 в степени левая круглая скобка 2016 правая круглая скобка левая круглая скобка 2017 минус k правая круглая скобка умножить на 10 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка .$

Ключ