РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 21 № 5677 Добавить в вариант

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в уравнениях, Методы алгебры. Замена переменной

Решите уравнение: $x в квадрате минус x минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби = левая квадратная скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$ Здесь квадратные скобки [x] означают целую часть числа x, т. е. наибольшее целое, не превосходящее x.

Решение. Преобразуем исходное уравнение:

$x в квадрате минус x минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби = левая квадратная скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \Rightarrow 4 x в квадрате минус 4 x минус 7=4 левая квадратная скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \Rightarrow 4 x в квадрате минус 4 x плюс 1=4 левая квадратная скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка плюс 8 .$ $x в квадрате минус x минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби = левая квадратная скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \Rightarrow 4 x в квадрате минус 4 x минус 7=4 левая квадратная скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow 4 x в квадрате минус 4 x плюс 1=4 левая квадратная скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка плюс 8 .$

Сделаем замену $t=x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ тогда

$4 t в квадрате =4 левая квадратная скобка t правая квадратная скобка плюс 8 \Rightarrow t в квадрате = левая квадратная скобка t правая квадратная скобка плюс 2 .$

Это уравнение имеет три корня $левая фигурная скобка минус 1, корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , 2 правая фигурная скобка$ (см. графики функций $y=t в квадрате$ и $y= левая квадратная скобка t правая квадратная скобка плюс 2 правая круглая скобка ,$ тогда $t в квадрате =3,$ откуда $t= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ $левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ не подходит). Корни $t=1$ и $t=2$ очевидны. Так как $x=t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ то получим

$x принадлежит левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Задача решена полностью с необходимыми пояснениями	10
Задача решена без необходимых пояснений	8
Найдены два корня из трех в предположении, что $левая квадратная скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка =x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Сделана проверка	4
Предпринята попытка решения, два корня угаданы	2
Задача не решена даже частично	0
Максимальный балл	10

5677

Олимпиада: Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ

Класс: 9

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2021

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	5677	$x принадлежит левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$