РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Дан набор цифр: 0, 1, 2, 2, 7, 0, 6, 6, 4, 8. Разрешается удалить одну из них, а из остальных составить десятичную запись 9-⁠значного числа, кратного 75. Сколько различных чисел можно получить таким образом? Число не может начинаться с цифры «0».

Given a set of digits: 0, 1, 2, 2, 7, 0, 6, 6, 4, 8. It is allowed to delete one of them and use the remaining digits to form a decimal representation of a 9-⁠digit number that is a multiple of 75. How many different numbers can be obtained this way? A number cannot begin with the digit «0».

Решение. Чтобы число делилось на 75, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 25. Чтобы полученное число делилось на 25, оно должно оканчиваться на 00, 25, 50 или 75, но цифры 5 в наборе нет, поэтому требуемое число оканчивается на 00, и цифру 0 удалять нельзя. Чтобы число делилось на 3, требуется, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Сумма цифр приведенного набора равна

$0 плюс 1 плюс 2 плюс 2 плюс 7 плюс 0 плюс 6 плюс 6 плюс 4 плюс 8=36,$

значит, чтобы сумма цифр требуемого числа делилась на 3. Итак, можно удалить только цифру 6.

Удалив цифру 6, мы получим число вида $\overlinea_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7 00,$ где $a_1, \ldots, a_7$   — цифры 1, 2, 2, 7, 6, 4, 8 в некотором порядке, и есть $дробь: числитель: 7!, знаменатель: 2! конец дроби =2520$ способов переставить их всевозможными способами.

Ответ: 2520.

For a number to be divisible by 75, it is necessary and sufficient that it be divisible by 3 and 25. For the resulting number to be divisible by 25, it must end in 00, 25, 50, or 75, but the digit 5 is not in the set, so the required number ends in 00 , and any of the digits 0 cannot be removed. For a number to be divisible by 3, the sum of its digits must be divisible by 3. The sum of the digits in the given set is

$0 плюс 1 плюс 2 плюс 2 плюс 7 плюс 0 плюс 6 плюс 6 плюс 4 плюс 8=36,$

thus the sum of the digits of the desired number must be divisible by 3. So, we can only remove the digit 6.

By removing the digit 6, we get a number of the form $\overlinea_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7 00,$ where $a_1, \ldots, a_7$ are the digits 1, 2, 2, 7, 6, 4, 8 in some order, and there are $дробь: числитель: 7!, знаменатель: 2! конец дроби =2520$ ways to rearrange them.

Answer: 2520.

Ключ