РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 11824 Добавить в вариант

Дан тетраэдр ABCD и произвольная точка M в пространстве. Точки $A_1, B_1, C_1, D_l$ симметричны точке M относительно точек пересечения медиан соответствующих граней. Докажите, что отношение объемов $V_A_1 B_1 C_1 D_1 / V_A B C D$ постоянно для всех тетраэдров и любой точки M и найдите это отношение.

Спрятать решение

Решение.

Введем векторы $\veca = \overrightarrowMA,$ $\vecb = \overrightarrowMB,$ $\vecc = \overrightarrowMC,$ $\vecd = \overrightarrowMD.$ Тогда

$\overrightarrowMA_2 = дробь: числитель: \vecd плюс \vecb плюс \vecc, знаменатель: 3 конец дроби ,$

$\overrightarrowMB_2 = дробь: числитель: \veca плюс \vecc плюс \vecd, знаменатель: 3 конец дроби ,$

$\overrightarrowMC_2 = дробь: числитель: \veca плюс \vecb плюс \vecd, знаменатель: 3 конец дроби ,$

$\overrightarrowMD_2 = дробь: числитель: \veca плюс \vecb плюс \vecc, знаменатель: 3 конец дроби ,$

где A₂, B₂, C₂, D₂  — точки пересечения медиан граней BCD, ACD, ABD и ABC соответственно. Поскольку

$\overrightarrowMA_1 = 2\overrightarrowMA_2,$

$\overrightarrowMB_1 = 2\overrightarrowMB_2,$

$\overrightarrowMC_1 = 2\overrightarrowMC_2,$

$\overrightarrowMD_1 = 2\overrightarrowMD_2,$

то $A_1B_1 = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка ,$ аналогично, остальные векторы ребер тетраэдра A₁B₁C₁D₁ коллинеарны векторам ребер тетраэдра ABCD с коэффициентом $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,$ а значит, тетраэдры подобны и отношение их объемов равно $левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в кубе .$

Ответ: $дробь: числитель: 8, знаменатель: 27 конец дроби .$

Олимпиада Будущие исследователи - будущее науки, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2025 год

Спрятать решение · Помощь