РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 11 № 10377 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение x² - ax + 2a  =  0 имеет два различных целых корня. Укажите все возможные варианты.

Спрятать решение

Решение.

Пусть x₁ и x₂  — корни уравнения. По теореме Виета, x₁ + x₂  =  a и x₁x₂  =  2a. Значит, $x_1x_2 минус 2 левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка = 0.$ Добавим к обеим частям уравнения 4 и разложим левую часть на множители, получим $левая круглая скобка x_1 минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус 2 правая круглая скобка = 4.$

Так как x₁ и x₂  — целые, то каждый из множителей тоже целый, поэтому возможны следующие случаи.

1.  При $x_1 минус 2 = 4,$ $x_2 минус 2 = 1.$ Тогда $x_1 = 6,$ $x_2 = 3,$ откуда $a = x_1 плюс x_2 = 9.$

2.  При $x_1 минус 2 = 2,$ $x_2 минус 2 = 2.$ Тогда $x_1 = 4,$ $x_2 = 4,$ но корни должны быть различными.

3.  При $x_1 минус 2 = 1,$ $x_2 минус 2 = 4.$ Тогда $x_1 =3,$ $x_2 = 6,$ откуда $a = x_1 плюс x_2 = 9.$

4.  При $x_1 минус 2 = минус 1,$ $x_2 минус 2 = минус 4.$ Тогда $x_1 = 1,$ $x_2 = минус 2,$ откуда $a = x_1 плюс x_2 = минус 1.$

5.  При $x_1 минус 2 = минус 2,$ $x_2 минус 2 = минус 2.$ Тогда $x_1 = 0,$ $x_2 = 0,$ но корни должны быть различными.

6.  При $x_1 минус 2 = минус 4,$ $x_2 минус 2 = минус 1.$ Тогда $x_1 = минус 2,$ $x_2 = 1,$ откуда $a = x_1 плюс x_2 = минус 1.$

Итак, a может принимать значения −1 и 9.

Ответ: -1, 9.

Всероссийская олимпиада школьников Высшая проба, 11 класс, 1 тур (демоверсия), 2024 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Уравнения

Спрятать решение · Помощь