PDF-версии: 
В компании из 6 человек некоторые компаниями по трое ходили вместе в походы. Верно ли, что среди них найдутся четверо, среди которых каждые трое ходили вместе в поход, либо четверо, где никакие трое не ходили вместе в поход?
Решение.
Рассмотрим октаэдр (см. рис.). Пусть каждый человек соответствует вершине октаэдра.
В качестве троек, ходивших вместе в поход, возьмём грани, а также ещё 6, получаемых следующим образом. Рассмотрим три координатных плоскости. Каждая из них пересекает октаэдр по квадрату, которые закрашены разными цветами. В каждом таком квадрате возьмём две тройки, чтобы полученные треугольники вместе образовывали квадрат, и три прямых, разделяющих треугольники в парах, лежали на трёх различных координатных прямых. Отрезки, разделяющие треугольники, в квадратах проведены соответствующими цветами. Легко видеть, что такой набор троек не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: нет.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведён верный контрпример. | 20 |
| Присутствует идея построения цикла для 5 человек и добавления шестого. | 15 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 20 |