Ре­ше­ние. По усло­вию маль­чи­ки по­лу­чи­ли кар­точ­ки с чис­ла­ми от 1 до n, а де­воч­ки кар­точ­ки с чис­ла­ми от n + 1 до 2n. Пред­по­ло­жим, что у всех де­во­чек на ли­сточ­ках ока­за­лось на­пи­са­но число m. Тогда сумма всех чисел на ли­сточ­ках равна mn, с дру­гой сто­ро­ны она может быть по­лу­че­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом: надо сло­жить все числа, ко­то­рые есть у де­во­чек и до­ба­вить к ним удво­ен­ную сумму всех чисел, ко­то­рые есть у маль­чи­ков. Сле­до­ва­тель­но,

Стало быть, и n  — не­чет­но. Пусть тогда Для при­ме­ра надо по­сле­до­ва­тель­но раз­дать кар­точ­ки маль­чи­кам от 1 до 2k – 1 идя через од­но­го. Если те­перь для каж­дой де­воч­ки по­смот­реть на сумму чисел, на кар­точ­ках со­сед­них с ней маль­чи­ков, то по од­но­му разу по­лу­чат­ся все суммы от k + 1 до 3k – 1. Даль­ше нужно до­пол­нить их чис­ла­ми от 2k до 4k – 2 (раз­дав со­от­вет­ству­ю­щие кар­точ­ки де­воч­кам) так, чтобы все суммы стали равны 5k – 1. При­мер раз­да­чи кар­то­чек для n  =  9 и k  =  5 по­ка­зан на ри­сун­ке.

Ответ: при не­чет­ных n.