РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 9185 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Ломоносов, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2023 год

Найти площадь выпуклого многоугольника, координаты вершин которого суть решения системы уравнений:

$система выражений 2 x в квадрате минус 5 x y плюс 2 y в квадрате =0,x в квадрате плюс y в квадрате =9 минус 2 x y. конец системы .$

Решение.

Левая часть первого уравнения раскладывается на множители:

$левая круглая скобка 2 x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 y правая круглая скобка =0.$

Во втором уравнении после переноса всех слагаемых в левую часть также можно разложить левую часть на множители:

$x в квадрате плюс y в квадрате =9 минус 2 x y \Rightarrow x в квадрате плюс 2 x y плюс y в квадрате =9 \Rightarrow левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка в квадрате =3 в квадрате \Rightarrow левая круглая скобка x плюс y минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y плюс 3 правая круглая скобка =0.$ $x в квадрате плюс y в квадрате =9 минус 2 x y \Rightarrow x в квадрате плюс 2 x y плюс y в квадрате =9 \Rightarrow$
$\Rightarrow левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка в квадрате =3 в квадрате \Rightarrow левая круглая скобка x плюс y минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y плюс 3 правая круглая скобка =0.$

Таким образом, решениями системы будут координаты точек A, B, C, D пересечения графиков соответствующих линейных функций (см. рис.). Четырёхугольник ABCD  — прямоугольник, так как его стороны лежат на взаимно перпендикулярных прямых. Длины сторон легко определяются по теореме Пифагора:

$A D=B C= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$

$A B=C D=3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Таким образом, площадь четырёхугольника равна $S_A B C D= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =6.$

Ответ: 6.

Олимпиада: Олимпиада школьников Ломоносов

Класс: 11

Тур: 1 тур (отборочный)

Год: 2023

Ключ