РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 21 № 9018 Добавить в вариант

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2023 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в системах

Числа x, y, z различны и удовлетворяют системе уравнений

$x в кубе плюс y в квадрате плюс z в квадрате =x в квадрате плюс y в кубе плюс z в квадрате =x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в кубе =0,9.$

Какие значения может принимать их произведение?

Решение. Нам будет удобно представить систему в виде

$система выражений x в кубе минус x в квадрате плюс левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате правая круглая скобка минус 0,9=0, y в кубе минус y в квадрате плюс левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате правая круглая скобка минус 0,9=0, z в кубе минус z в квадрате плюс левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате правая круглая скобка минус 0,9=0. конец системы .$

Пусть

$f левая круглая скобка t правая круглая скобка = левая круглая скобка t минус x правая круглая скобка левая круглая скобка t минус y правая круглая скобка левая круглая скобка t минус z правая круглая скобка =t в кубе плюс альфа t в квадрате плюс бета t плюс гамма ,$

где

$альфа = минус левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка ,$ $бета =x y плюс y z плюс z x,$ $гамма = минус x y z.$

Тогда x, y, z  — корни многочлена $g левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в кубе минус t в квадрате плюс альфа в квадрате минус 2 бета минус 0,9,$ совпадающего (в силу условий $x не равно q y,$ $y не равно q z,$ $z не равно q x c f левая круглая скобка t правая круглая скобка .$ Поэтому $альфа = минус 1,$ $бета =0$ и $гамма =0,1,$ откуда $x y z= минус 0,1.$

Ответ: −0,1.

Критерии проверки:

Содержание критерия	Оценка	Баллы
Задача решена полностью	+	14
Верный план решения не реализован из-за описок и/или арифметических ошибок	+/2	7
Имеется продвижение в решении задачи, но решение не завершено	−/+	от 1

Ответ: −0,1.

9018

−0,1.

Олимпиада: Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!

Класс: 10

Тур: 2 тур (заключительный)

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в системах

Год: 2023

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	9018	−0,1.