РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

На столе лежат 210 различных карточек с числами 2, 4, 6, ... 418, 420 (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 7?

Решение. Данные числа, расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию с разностью 2. Следовательно, остатки от деления на 7 у этих чисел чередуются. Действительно, если какое-то из этих чисел делится на 7, т. е. имеет вид $7 k,$ где $k принадлежит N ,$ то следом за ним идут числа

$7 k плюс 2,$ $\quad 7 k плюс 4,$ $\quad 7 k плюс 6,$ $\quad 7 k плюс 8=7 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка плюс 1,$

$7 k плюс 10=7 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка плюс 3,$ $\quad 7 k плюс 12=7 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка плюс 5,$

дающие при делении на 7 остатки 2, 4, 6, 1, 3, 5 соответственно. Далее идёт число $7 k плюс 14,$ делящееся на 7, и затем остатки повторяются. Таким образом, остатки от деления данных чисел на 7 идут в порядке ... 0; 2; 4; 6; 1; 3; 5; 0 ... Среди данных нам 210 чисел есть по 30 чисел, дающих остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 от деления на 7.

Сумма двух чисел может делиться на 7 в следующих случаях.

1)  Оба числа делятся на 7. Всего карточек с такими числами 30, и нужно выбрать 2 них  — есть

$C_30 в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 30 умножить на 29=435 способов$

сделать это.

2)  Одно из чисел даёт остаток 1 от деления на 7  — тогда второе должно давать остаток 6 от деления на 7. Эту пару чисел можно выбрать $30 умножить на 30=900$ способами.

3)  Одно из чисел даёт остаток 2 от деления на 7  — тогда второе даёт остаток 5, и, аналогично второму случаю, получаем 900 способов выбрать 2 числа.

4)  Одно из чисел даёт остаток 3 от деления на 7  — тогда второе даёт остаток 4  — также 900 способов. В итоге выходит 3135 способов.

Ответ: 3135.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	862	3135.

Ключ