РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 8480 Добавить в вариант

Санкт-Петербургская олимпиада школьников, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Произвольные многоугольники

Дан выпуклый пятиугольник ABCDE. Точки A₁, B₁, C₁, D₁, E₁ таковы, что $A A_1 \perp E B,$ $B B_1 \perp A C,$ $C C_1 \perp B D,$ $D D_1 \perp C E,$ $E E_1 \perp D A.$ Kроме того, $A E_1=A B_1,$ $B C_1=B A_1,$ $C B_1=C D_1,$ $D C_1=D E_1.$ Докажите, что тогда $E D_1=E A_1.$

Решение. Рассмотрим выражение

$S= левая круглая скобка E A_1 в квадрате минус B A_1 в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка B C_1 в квадрате минус D C_1 в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка D E_1 в квадрате минус A E_1 в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка A B_1 в квадрате минус C B_1 в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка C D_1 в квадрате минус E D_1 в квадрате правая круглая скобка .$ $S= левая круглая скобка E A_1 в квадрате минус B A_1 в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка B C_1 в квадрате минус D C_1 в квадрате правая круглая скобка плюс$
$плюс левая круглая скобка D E_1 в квадрате минус A E_1 в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка A B_1 в квадрате минус C B_1 в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка C D_1 в квадрате минус E D_1 в квадрате правая круглая скобка .$

Из данных равенств следует, что

$S=E A_1 в квадрате минус левая круглая скобка B A_1 в квадрате минус B C_1 в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка D C_1 в квадрате минус D E_1 в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка A E_1 в квадрате минус A B_1 в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка C B_1 в квадрате минус C D_1 в квадрате правая круглая скобка минус E D_1 в квадрате =E A_1 в квадрате минус E D_1 в квадрате .$ $S=E A_1 в квадрате минус левая круглая скобка B A_1 в квадрате минус B C_1 в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка D C_1 в квадрате минус D E_1 в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка A E_1 в квадрате минус A B_1 в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка C B_1 в квадрате минус C D_1 в квадрате правая круглая скобка минус E D_1 в квадрате =$
$=E A_1 в квадрате минус E D_1 в квадрате .$ $S=$
$=E A_1 в квадрате минус левая круглая скобка B A_1 в квадрате минус B C_1 в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка D C_1 в квадрате минус D E_1 в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка A E_1 в квадрате минус A B_1 в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка C B_1 в квадрате минус C D_1 в квадрате правая круглая скобка минус E D_1 в квадрате =$
$=E A_1 в квадрате минус E D_1 в квадрате .$

С другой стороны, из условия $A A_1 \perp E B$ следует, что

$E A_1 в квадрате минус B A_1 в квадрате =E A в квадрате минус B A в квадрате$

и т. д. Заменяя так все скобки, получаем сумму

$левая круглая скобка E A в квадрате минус B A в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка B C в квадрате минус D C в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка D E в квадрате минус A E в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка A B в квадрате минус C B в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка C D в квадрате минус E D в квадрате правая круглая скобка =0.$ $левая круглая скобка E A в квадрате минус B A в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка B C в квадрате минус D C в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка D E в квадрате минус A E в квадрате правая круглая скобка плюс$
$плюс левая круглая скобка A B в квадрате минус C B в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка C D в квадрате минус E D в квадрате правая круглая скобка =0.$

Следовательно, $E A_1 в квадрате минус E D_1 в квадрате =0.$ Что требовалось доказать.

Олимпиада: Санкт-Петербургская олимпиада школьников

Класс: 10

Тур: 2 тур (заключительный)

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Произвольные многоугольники

Год: 2021

Ключ