PDF-версии: 
В ряд выписано 2021 простое натуральное число. Каждое, кроме крайних, отличается от одного из своих соседей на 12, а от другого — на 6. Докажите, что среди этих чисел есть равные.
Решение. Предположим, что все эти числа различны. среди них не более, чем одно число равно 5. Возьмем в этом ряду два соседних xисла с разностью 6, от которых на расстоянии 10 шагов в обе стороны не встретится ни число 5, ни конец ряда. Пусть это числа а и а + 6, посмотрим на следующие несколько чисел с той стороны ряда, где число а + 6, по модулю 5. Сами числа а и а + 6 могут давать остатки 1 и 2; 2 3; 3 и 4. Эти случаи абсолютно аналогичны, рассмотрим первый из них. Следующее за а + 6 число равно либо а – 6, либо а + 18. B первом случае оно кратно 5, противоречие. Значит, оно равно а + 18 Следующее число равно либо а + 24, либо а + 12. B первом случае оно кратно 5, значит, оно равно а + 12. Наконец, следующее число равно либо а + 24, либо а. Первое кратно 5, а второе уже встречалось в этом ряду — противоречие. Что требовалось доказать.