РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 8359 Добавить в вариант

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Неравенства, Разное. Оценка плюс пример

Число $a больше 1$ таково, что неравенства $5 меньше a в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка меньше 25$ выполняются ровно при четырёх натуральных значениях n. При скольких натуральных значениях n могут выполнятся неравенства $25 меньше a в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка меньше 125 ?$

Решение. Полагая $логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка 5= альфа ,$ неравенства $5 меньше a в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка меньше 25$ перепишем в виде $альфа меньше n меньше 2 альфа ,$ а неравенства $25 меньше a в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка меньше 125$   — в виде $2 альфа меньше n меньше 3 альфа .$ Согласно условию, для некоторого натурального числа m выполнены неравенства

$m минус 1 меньше альфа меньше m меньше m плюс 3 меньше 2 альфа меньше 2 m плюс 4.$

Из них следует, что

$2 m минус 2 меньше 2 альфа меньше 2 m меньше 2 m плюс 2 меньше 3 альфа меньше 2 m плюс 4;$

таким образом, неравенствам $2 альфа меньше n меньше 3 альфа$ обязательно удовлетворяют числа 2m, 2m + 1, 2m + 2 и, возможно, одно или оба числа пары $левая фигурная скобка 2 m минус 1; 2 m плюс 3 правая фигурная скобка .$

Приведём три соответствующих примера. При $альфа =3,6$ имеем $m=4$ и $2 m минус 1 меньше 2 альфа меньше 3 альфа меньше 2 m плюс 3;$ при $альфа =3,7$ число m также равно 4, но

$2 m минус 1 меньше 2 альфа меньше 2 m плюс 3 меньше 3 альфа ;$

наконец, при $альфа =4,4$ получается $m=5$ и

$2 альфа меньше 2 m минус 1 меньше 2 m плюс 3 меньше 3 альфа .$

Ответ: три, четыре или пять.

Критерии проверки:

Критерии	Оценка	Баллы
Задача решена полностью	+	14
Получен ответ «от трёх до пяти», но не показано, что все эти возможности реализуются	±	9
Приведены три соответствующих примера, но доказана только одна из границ числа решений	+/2	6
Приведены только примеры для 3, 4, 5 решений	∓	3

Ответ: три, четыре или пять.

8359

три, четыре или пять.

Олимпиада: Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!

Класс: 11

Тур: 2 тур (заключительный)

Классификатор: Задачи с параметрами. Неравенства, Разное. Оценка плюс пример

Год: 2022

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	8359	три, четыре или пять.