PDF-версии: Тип 0 № 78 
i
Числа P1, . . . , Pn являются перестановкой набора чисел {1, . . . , n} (то есть каждое Pi равно одному из 1, . . . , n, и все Pi различны). Докажите неравенство:
Решение. По неравенству о среднем арифметическом и среднем гармоническом имеем:
В нашем случае слагаемых 
Сумма в знаменателе содержит каждое из чисел 1, . . . , n по два раза, кроме двух чисел, которые в ней участвуют по одному разу. Тогда эта сумма меньше 
Отсюда:
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Неравенство полностью доказано. | 20 |
| Доказано нестрогое неравенство. | 17 |
| Рассмотрена идея использования неравенства между средним арифметическим и среднем гармоническим. | 6 |
| Неверный переход в доказательстве по индукции ИЛИ решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 20 |