РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 7428 Добавить в вариант

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности вписанные, Методы геометрии. Свойства медиан, высот, биссектрис, ср. линий, Методы геометрии. Теорема Пифагора

В треугольнике ABC сторона $A C=42 .$ Биссектриса CL делится точкой пересечения биссектрис треугольника в отношении 2 : 1, считая от вершины. Найдите длину стороны AB, если радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 14.

Решение. Пусть I  — центр вписанной в треугольник ABC окружности (то есть точка пересечения биссектрис). Заметив, что AI  — биссектриса, в треугольнике ALC, в силу свойства биссектрисы треугольника имеем: $A C: A L=C I: I L=2: 1,$ откуда

$A L= дробь: числитель: A C, знаменатель: 2 конец дроби =21.$

Далее,

$A C умножить на A L умножить на синус \angle A=2 S_\triangle A C L=2 S_\triangle A I C плюс 2 S_\triangle A I L=$
$=A C умножить на r плюс A L умножить на r= левая круглая скобка A C плюс A L правая круглая скобка умножить на r,$ $A C умножить на A L умножить на синус \angle A=2 S_\triangle A C L=$
$=2 S_\triangle A I C плюс 2 S_\triangle A I L=$
$=A C умножить на r плюс A L умножить на r= левая круглая скобка A C плюс A L правая круглая скобка умножить на r,$ $A C умножить на A L умножить на синус \angle A=2 S_\triangle A C L=$
$=2 S_\triangle A I C плюс 2 S_\triangle A I L=$
$=A C умножить на r плюс A L умножить на r=$
$= левая круглая скобка A C плюс A L правая круглая скобка умножить на r,$

где r  — радиус вписанной в треугольник ABC окружности. Таким образом,

$42 умножить на 21 умножить на синус \angle A= левая круглая скобка 42 плюс 21 правая круглая скобка умножить на 14,$

то есть $синус \angle A=1,$ откуда $\angle A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

B силу свойства биссектрисы BI треугольника CLB имеем $B C: B L=C I: I L=2: 1.$ Полагая $B L=x,$ имеем $B C=2 x .$ В силу теоремы Пифагора: $A C в квадрате плюс A B в квадрате =B C в квадрате ,$ то есть

$42 в квадрате плюс левая круглая скобка 21 плюс x правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2 x правая круглая скобка в квадрате .$

откуда $x=35,$ а $A B=x плюс 21=56.$

Ответ: 56.

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

Ответ: 56.

7428

56.

Олимпиада: Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников

Класс: 11

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2022

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	7428	56.