PDF-версии: 
Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD расположены четыре окружности одного радиуса так, что они имеют общую точку и каждая из них вписана в один из углов четырёхугольника. Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.
Решение. Обозначим точку пересечения окружностей через O, центры окружностей обозначим A', B', C', D'. Поскольку все четыре окружности имеют равный радиус, OA' = OB' = OC' = OD'. Таким образом, O является центром окружности, описанной вокруг A'B'C'D'. Значит, сумма противоположных углов в четырёхугольнике A'B'C'D равна 180°. Прямая AB является общей касательной к паре пересекающихся окружностей равного радиуса с центрами в A' и B', поэтому AB || A'B'. Аналогично параллельны остальные соответствующие пары сторон. Значит, в четырёхугольнике ABCD суммы противоположных углов также равны 180°, так что он также является вписанным.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено полное доказательство. | 20 |
| Доказано, центры окружностей образуют вписанный четырёхугольник. | 12 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 20 |