Ре­ше­ние. Числа в усло­вии за­да­чи свя­за­ны не слиш­ком бро­са­ю­щим­ся в глаза со­от­но­ше­ни­ем:

Про­ве­рим, что это со­от­но­ше­ние озна­ча­ет ор­то­го­наль­ность ребер AC и BD.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник ABD. Пусть AH  — вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка. Так как точка H рас­по­ло­же­на ближе к D, чем к B. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ана­ло­гич­но для вы­со­ты тре­уголь­ни­ка на­хо­дим, что

По­сколь­ку при дви­же­нии точки H по лучу от се­ре­ди­ны от­рез­ка в сто­ро­ну точки D ве­ли­чи­на ме­ня­ет­ся мо­но­тон­но, мы за­клю­ча­ем, что Это и, зна­чит, что

Раз­вер­нем те­перь тет­ра­эдр так, чтобы диа­го­на­ли AC и BD ока­за­лись го­ри­зон­таль­ны­ми, и по­смот­рим на тет­ра­эдр свер­ху. Мы уви­дим фак­ти­че­ски про­ек­цию этого тет­ра­эд­ра на го­ри­зон­таль­ную плос­кость  — че­ты­рех­уголь­ник ABCD. Про­из­ве­де­ние равно удво­ен­ной пло­ща­ди этого че­ты­рех­уголь­ни­ка. Грани тет­ра­эд­ра при про­ек­ти­ро­ва­нии в эту плос­кость два­жды на­кры­ва­ют че­ты­рех­уголь­ник ABCD, по­это­му пло­щадь по­верх­но­сти тет­ра­эд­ра боль­ше пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Впро­чем, конец ре­ше­ния можно офор­мить, не опи­ра­ясь на про­стран­ствен­ное во­об­ра­же­ние. За­ме­тим, что

Ана­ло­гич­но уста­нав­ли­ва­ет­ся, что сумма пло­ща­дей двух дру­гих гра­ней также боль­ше чтд.