РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 6852 Добавить в вариант

Турнир городов, 8, 9 класс, Весенний тур, 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности описанные, Геометрия: планиметрия. Произвольные многоугольники

Существует ли вписанный в окружность N-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов, если

а) $N = 19;$

б) $N = 20?$

(М. Малкин)

Решение. a) Пусть такой 19-угольник существует. Рассмотрим вписанные углы, опирающиеся на его последовательные стороны. Все они разные, и сумма каждых двух углов, соответствующих соседним сторонам, целая (она дополняет один из углов 19-угольника до $180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка .$ Рассмотрим два случая.

1)  Все эти вписанные углы выражаются целым числом градусов. Тогда их сумма не меньше $1 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \ldots плюс 19 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка больше 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ что невозможно.

2)  Есть угол с ненулевой дробной частью $\varepsilon .$ Тогда у соседнего угла дробная часть равна $1 минус \varepsilon,$ у следующего  — снова $\varepsilon$ и т. д. Поскольку $19 минус$ нечётное число, то $\varepsilon= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Но тогда сумма углов, опирающихся на все стороны, не меньше

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \ldots плюс целая часть: 18, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 1 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 5 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \ldots плюс 37 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 361 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка больше 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \ldots плюс целая часть: 18, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 1 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 5 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \ldots плюс 37 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 361 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка больше 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Снова противоречие.

б) Пусть вписанные углы, опирающиеся на последовательные стороны 20-угольника, равны

$целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , целая часть: 4, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , целая часть: 5, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , \ldots, целая часть: 13, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , целая часть: 13, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Сумма этих чисел равна $2 левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 5 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \ldots плюс 13 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Каждый угол 20-угольника равен $180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ минус сумма двух соседних из указанного списка углов, а все эти суммы целые.

Ответ: а) не существует; б) существует.

6852

а) не существует; б) существует.

Олимпиада: Турнир городов

Класс: 8, 9

Тур: Весенний тур

Год: 2020

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	6852	а) не существует; б) существует.