РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 6779 Добавить в вариант

Турнир городов, 11, 10 класс, Осенний тур, 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих, Методы геометрии. Четыре точки на окружности

Отрезки $AA',$ $BB'$ и $CC'$ с концами на сторонах остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке P внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку P. Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что P  — точка пересечения высот треугольника ABC.

(Г. Гальперин)

Решение. Пусть 2x  — длина указанных хорд. По теореме о произведении отрезков хорд

$x в квадрате =A P умножить на A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка P=B P умножить на B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка P=C P умножить на C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка P .$

По обратной теореме точки A, $A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$ B и $B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ лежат на одной окружности. Значит, $\angle A A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B=\angle A B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B.$

Аналогично

$\angle A A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C=\angle A C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C,$ $\quad \angle B B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C=\angle B C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C.$

Следовательно,

$\angle A A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B=\angle A B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C=\angle A C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C=\angle A A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C,$ $\angle A A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B=\angle A B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C=$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C=\angle A C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C=\angle A A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C,$

то есть $A A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$   — высота. Аналогично $B B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ и $C C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$   — высоты.

Олимпиада: Турнир городов

Класс: 11, 10

Тур: Осенний тур

Год: 2020

Ключ