Ре­ше­ние. За­ме­тим, что если ку­би­че­ский мно­го­член пред­ста­вим в виде про­из­ве­де­ния

то имеют место сле­ду­ю­щие ра­вен­ства:

а)  

б)  

в)  

а корни урав­не­ния   — это c₁, c₂ и c₃. Фак­ти­че­ски, это ва­ри­ант утвер­жде­ния тео­ре­мы Виета. Так как наше урав­не­ние может (после де­ле­ния на 6) быть пе­ре­пи­са­но в виде

и для пер­во­го ко­эф­фи­ци­ен­та имеем то можно пред­по­ло­жить, что корни этого урав­не­ния и

Для того, чтобы до­ка­зать эту ги­по­те­зу, до­ста­точ­но по­ка­зать, что

1)  

2)  

Пер­вое из этих ра­венств до­ста­точ­но оче­вид­но, но вто­рое до­ка­зы­ва­ет­ся не­сколь­ко более кро­пот­ли­во, по­это­му для упро­ще­ния до­ка­за­тель­ства вве­дем обо­зна­че­ния и

Для пер­во­го из ра­венств имеем:

Для вто­ро­го из ра­венств имеем:

Ответ: урав­не­ние имеет три корня и