PDF-версии: 
Тройка целых чисел (x, y, z), наибольший общий делитель которых равен 1, является решением уравнения
Докажите, что z является кубом целого числа.
Решение. Число z единственным образом раскладывает в произведение простых: 
Возьмём любое простое число p и докажем, что степень его вхождения в z делится на 3. Понятно, что из этого следует, что z является кубом целого числа.
Пусть 
равно k, если n делится на pk и не делится на pk+1 (будем считать, что 
). Сгруппируем слагаемые:
Понятно, что если z делится на p, то и x делится на p, но тогда y не делится на p, так как наибольший делитель x, y, z равен 1. Рассмотрим остаток от деления 
на 3.
Допустим, остаток равен 1, то есть 
Тогда z2 делится на p6k+2, а степень p, на которую делится x3, делится на 3. Таким образом, два слагаемых в левой части и правая часть делятся на попарно разные степени p, так как остатки этих степеней по модулю 3 различны (так как 
и 
не делятся на p). Тогда равенство не может быть выполнено. В случае ≡ 
аналогично равенство не может быть выполнено. Значит, остаётся только случай, где делится на 3, что и требовалось доказать.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено полное доказательство. | 20 |
| Рассмотрена идея рассмотрения остатка вхождения произвольного простого по модулю 3, но не показано, почему в этом случае равенство невозможно. | 12 |
| Рассмотрена идея разложения z на простые множители и исследования степеней простых. | 5 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 20 |