РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 5680 Добавить в вариант

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Алгебра. Неравенства с буквами, Алгебра. Неравенства со средними, Методы алгебры. Замена переменной

Доказать неравенство

где x, y, z  — стороны произвольного треугольника.

Решение. Введем новые обозначения

$минус x плюс y плюс z=a левая круглая скобка a больше 0 правая круглая скобка ,$ $x минус y плюс z=b левая круглая скобка b больше 0 правая круглая скобка ,$ $x плюс y минус z=c левая круглая скобка c больше 0 правая круглая скобка .$

Тогда

$x= дробь: числитель: b плюс c, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $y= дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $z= дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 конец дроби .$

Имеем

$дробь: числитель: x, знаменатель: минус x плюс y плюс z конец дроби плюс дробь: числитель: y, знаменатель: x минус y плюс z конец дроби плюс дробь: числитель: z, знаменатель: x плюс y минус z конец дроби = дробь: числитель: b плюс c, знаменатель: 2 a конец дроби плюс дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: 2 b конец дроби плюс дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 c конец дроби =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби плюс дробь: числитель: a, знаменатель: c конец дроби плюс дробь: числитель: b, знаменатель: c конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая квадратная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: c конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка дробь: числитель: c, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: b, знаменатель: c конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка больше или равно 3,$ $дробь: числитель: x, знаменатель: минус x плюс y плюс z конец дроби плюс дробь: числитель: y, знаменатель: x минус y плюс z конец дроби плюс дробь: числитель: z, знаменатель: x плюс y минус z конец дроби =$
$= дробь: числитель: b плюс c, знаменатель: 2 a конец дроби плюс дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: 2 b конец дроби плюс дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 c конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби плюс дробь: числитель: a, знаменатель: c конец дроби плюс дробь: числитель: b, знаменатель: c конец дроби правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая квадратная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: c конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка дробь: числитель: c, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: b, знаменатель: c конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка больше или равно 3,$ $дробь: числитель: x, знаменатель: минус x плюс y плюс z конец дроби плюс дробь: числитель: y, знаменатель: x минус y плюс z конец дроби плюс дробь: числитель: z, знаменатель: x плюс y минус z конец дроби =$
$= дробь: числитель: b плюс c, знаменатель: 2 a конец дроби плюс дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: 2 b конец дроби плюс дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 c конец дроби =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби плюс дробь: числитель: a, знаменатель: c конец дроби плюс дробь: числитель: b, знаменатель: c конец дроби правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая квадратная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: c конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка дробь: числитель: c, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: b, знаменатель: c конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка больше или равно 3,$

поскольку

$дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби больше или равно 2,$ $дробь: числитель: a, знаменатель: c конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: a конец дроби больше или равно 2,$ $дробь: числитель: c, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: b, знаменатель: c конец дроби больше или равно 2 .$

Неравенство доказано.

Олимпиада: Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ

Класс: 9

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2021

Ключ