РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 21 № 2 Добавить в вариант

Всероссийская олимпиада школьников Высшая проба, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник с углом 60° или 120°, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих

Вокруг треугольника ABC с углом ∠B = 60° описана окружность. Касательные к окружности, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке B₁. На лучах AB и CB отметили точки A₀ и C₀ соответственно так, что AA₀ = AC = CC₀. Докажите, что точки A₀, C₀, B₁ лежат на одной прямой.

Решение. По теореме об угле между касательной и хордой имеем:

$\angle ACB_1 = \angle CAB_1 = \angle ABC = 60 градусов,$

т. е. треугольник AB₁C  — равносторонний. Тогда AA₀ = AC = AB₁, т. е. треугольник A₀AB₁ равнобедренный. Если обозначить $\angle ABC = альфа ,$ $\angle BCA = бета ,$ то получим:

$\angle AB_1A_0 = дробь: числитель: 180 градусов минус левая круглая скобка альфа плюс 60 градусов правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 120 градусов минус альфа , знаменатель: 2 конец дроби .$

Отсюда в частности следует, что $\angle AB_1A_0 меньше 60 градусов,$ т. е. точка A₀ расположена внутри ∠AB₁C, см. рис. слева. Аналогично треугольник C₀CB₁ равнобедренный, и $\angle CB_1C_0 = дробь: числитель: 120 градусов минус бета , знаменатель: 2 конец дроби .$ Сумма этих углов равна:

$\angle AB_1A_0 плюс \angle CB_1C_0 = дробь: числитель: 240 градусов минус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Учитывая, что $альфа плюс бета = 120 градусов,$ получаем:

$\angle AB_1A_0 плюс \angle CB_1C_0 = 60 градусов = \angle AB_1C,$

следовательно лучи B₁A₀ и B₁C₀ совпадают (рисунок справа), что и требовалось доказать.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Правильное решение.	4
Рисунок, не соответствующий условию: точки A₀ и C₀ выбраны не на лучах AB и CB, а на их продолжениях. Для такого рисунка приведено правильное решение.	3
Доказана равнобедренность треугольников C₀CB₁ и A₀AB₁.	2
Рисунок, не соответствующий условию: точки A₀ и C₀ выбраны не на лучах AB и CB, а на их продолжениях. Для такого рисунка доказана равнобедренность треугольников C₀CB₁ и A₀AB₁.	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	4

Олимпиада: Всероссийская олимпиада школьников Высшая проба

Класс: 10

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2016

Ключ