РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 1528 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Ломоносов, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения рациональные, Методы алгебры. Преобразования выражений

Найдите все пары целых чисел (x; y), являющиеся решениями уравнения

$7xy минус 13x плюс 15y минус 37=0.$

В ответе укажите сумму найденных значений x.

Решение. Домножив обе части уравнения на 7, получим

$7 умножить на 7 x y минус 13 умножить на 7 x плюс 15 умножить на 7 y минус 37 умножить на 7=0.$

Перепишем это уравнение в виде

$левая круглая скобка 7 x плюс 15 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 y минус 13 правая круглая скобка =64 .$

Если x и y целые, то числа $7 x плюс 15$ и $7 y минус 13$ тоже целые и делятся на 7 с остатком $1 .$ Всевозможные разложения числа 64 в произведение двух целых множителей выглядят так:

$64=1 умножить на 64=2 умножить на 32=4 умножить на 16=8 умножить на 8=$
$= минус 1 умножить на левая круглая скобка минус 64 правая круглая скобка = минус 2 умножить на левая круглая скобка минус 32 правая круглая скобка = минус 4 умножить на левая круглая скобка минус 16 правая круглая скобка = минус 8 умножить на левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка .$ $64=1 умножить на 64=2 умножить на 32=4 умножить на 16=$
$=8 умножить на 8= минус 1 умножить на левая круглая скобка минус 64 правая круглая скобка = минус 2 умножить на левая круглая скобка минус 32 правая круглая скобка =$
$= минус 4 умножить на левая круглая скобка минус 16 правая круглая скобка = минус 8 умножить на левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка .$

Из имеющихся среди этих множителей чисел на 7 с остатком 1 делятся 1, 8 и 64. Поэтому возможны варианты

$7 x плюс 15=1, 7 y минус 13=64 \Rightarrow левая круглая скобка x, y правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 2, 11 правая круглая скобка ;$

$7 x плюс 15=8, 7 y минус 13=8 \Rightarrow левая круглая скобка x, y правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 1, 3 правая круглая скобка ;$

$7 x плюс 15=64, 7 y минус 13=1 \Rightarrow левая круглая скобка x, y правая круглая скобка = левая круглая скобка 7, 2 правая круглая скобка .$

Таким образом, сумма возможных значений x равна $минус 2 минус 1 плюс 7=4.$

Ответ: 4.

1528

Олимпиада: Олимпиада школьников Ломоносов

Класс: 10, 11

Тур: 1 тур (отборочный)

Год: 2020

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1528	4.