РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1527 Добавить в вариант

Кривая, заданная уравнением $y=2 в степени левая круглая скобка p правая круглая скобка x в квадрате плюс 5px минус 2 в степени левая круглая скобка p в квадрате правая круглая скобка ,$ пересекает ось Ox в точках A и B, а ось Oy в точке C. Найдите сумму всех значений параметра p, при которых центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на оси Ox.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $x_1$ и $x_2 минус$ корни квадратного трехчлена $a x в квадрате плюс b x плюс c$ $левая круглая скобка c не равно q 0 правая круглая скобка ,$ график которого пересекает ось Ox в точках A и B; а ось Oy  — в точке C. Тогда $A левая круглая скобка x_1; 0 правая круглая скобка ,$ $B левая круглая скобка x_2; 0 правая круглая скобка ,$ $C левая круглая скобка 0; c правая круглая скобка .$ Принадлежность центра окружности, описанной около треугольника ABC, оси Ox эквивалентна тому, что угол ACB  — прямой. Нетрудно найти, что угловой коэффициент прямой AC равен $k_1= минус дробь: числитель: c, знаменатель: x_1 конец дроби ,$ а угловой коэффициент прямой $B C$ равен $k_2= минус дробь: числитель: c, знаменатель: x_2 конец дроби .$ Перпендикулярность этих прямых равносильна условию $k_1 умножить на k_2= минус 1,$ то есть $x_1 x_2= минус c в квадрате ,$ что, с учетом теоремы Виета, можно переписать в виде $a c= минус 1 .$

Для трехчлена из условия задачи условие $a c= минус 1$ приобрет ает вид, $2 в степени левая круглая скобка p плюс p в квадрате правая круглая скобка =1,$ откуда $p=0,$ $p= минус 1 .$

Ответ: −1.

Аналоги к заданию № 1527: 1557 Все

Олимпиада школьников Ломоносов, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2020 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Графики

Спрятать решение · Помощь