РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 1519 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Ломоносов, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрические уравнения, Методы алгебры. Преобразования выражений

Сколько целочисленных корней уравнения

$косинус 2 Пи x плюс косинус Пи x= синус 3 Пи x плюс синус Пи x$

лежит между корнями уравнения x² + 10x − 17  =  0.

Решение. Если $x=2 k,$ $k принадлежит Z ,$ то

$косинус 2 Пи x плюс косинус Пи x= косинус 4 Пи k плюс косинус 2 Пи k=2,$

$синус 3 Пи x плюс синус Пи x= синус 6 Пи k плюс синус 2 Пи k=0,$

поэтому чётных чисел среди корней первого уравнения нет. Если же $x=2 k плюс 1,$ $k принадлежит Z ,$ то

$косинус 2 Пи x плюс косинус Пи x= косинус левая круглая скобка 4 Пи k плюс 2 Пи правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка 2 Пи k плюс Пи правая круглая скобка =0,$

$синус 3 Пи x плюс синус Пи x= синус левая круглая скобка 6 Пи k плюс 3 Пи правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка 2 Пи k плюс Пи правая круглая скобка =0,$

поэтому все нечётные числа являются корнями первого уравнения. Корни второго уравнения равны $минус 5 \pm корень из: начало аргумента: 42 конец аргумента ;$ меньший из них лежит между −12 и −11, а больший  — между 1 и 2. Таким образом, между корнями второго уравнения лежат 7 нечётных чисел −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, то есть 7 целочисленных корней первого уравнения.

Ответ: 7.

1519

Олимпиада: Олимпиада школьников Ломоносов

Класс: 10, 11

Тур: 1 тур (отборочный)

Год: 2020

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1519	7.