PDF-версии: 
На плоскости дан отрезок АВ длины 1 и на нём произвольная точка М. На отрезках АМ и МВ как на сторонах построены квадраты AMCD и MBEF, лежащие по одну сторону от АВ. Пусть P и Q — точки пересечения диагоналей этих квадратов соответственно. Найдите геометрическое место середин отрезков PQ, когда точка М пробегает весь отрезок АВ.
Решение. Опустим из точек P и Q перпендикуляры PX и QY на АВ, четырёхугольник PXYQ является трапецией, поэтому расстояние от середины PQ до АВ равно длине её средней линии, то есть полусумме длин PX и QY. Длины PX и QY равны половинам длин рёберквадратов AMCD и MBEF и их сумма равна половине длины АВ, то есть 
Значит, расстояние от середины PQ до АВ равно 
Далее, если обозначит, длину АХ через 
то длина АY равна 
и расстояние от А до проекции середины PQ равно полусумме этих длин, то есть 
что находится в пределах от 
до 
Таким образом, мы доказали, что середина PQ всегда лежит на указанном в ответе отрезке ST. Заметим, что точки P и Q при этом перемещаются по катетам АК и ВК треугольника АКВ из ответа.
В обратную сторону, рассмотрим произвольную точку R на отрезке ST. Нужно показать, что она является серединой отрезка PQ при некотором выборе точки М. Если R совпадает с S или T, нужно взять М совпадающей с А или В соответственно. Если R — внутренняя точка отрезка ST, проведём отрезок КZ с серединой в R и Z на АВ, через Z проведём прямые, параллельные катетам АК и ВК. Их точки пересечения с отрезками ВК и АК соответственно будут точками P и Q, так как R будет точкой пересечения диагоналей параллелограмма PKQZ. Точка М при этом симметрична точке А относительно проекции Р1 точки Р на АВ, или симметрична точке В относительно проекции Q1 точки Q на АВ. Эти проекции совпадают, так как сумма длин АР1 и ВQ1 равна сумме длин PP1 и QQ1, которая равна удвоенному расстоянию от R до АВ, то есть
Ответ: Средняя линия ST равнобедренного прямоугольного треугольника AKB, построенного на АВ, как на гипотенузе по ту же строну от АВ, что и квадраты. Это отрезок длины ½ на высоте ¼ от АВ, параллельный АВ, проекция которого на АВ совпадает с интервалом 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение, даже если точки S и T не включены в ответ. | 7 |
| Доказано, что геометрическое место середин отрезков PQ лежит на отрезке ST. | 3 |
| Доказано, что любая точка отрезка ST является серединой отрезка PQ при подходящем выборе точки М. | 4 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |