PDF-версии: 
По кругу записаны 14 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых четырёх чисел, стоящих подряд, равна 30. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 15.
Решение. Первый способ. Из условия следует, что все числа, между которыми стоят 3 числа, равны. Следовательно, равны между собой числа с номерами: 1, 5, 9, 13, 3, 7, 11 и равны между собой числа с номерами 2, 6, 10, 14, 4, 8, 12, то есть все числа с нечётными номерами равны x, а все числа с чётными номерами равны y. Сумма любых четырёх чисел, идущих подряд равна 
откуда 
Значит, 
что и требовалось доказать.
Второй способ. Разобьём числа на 7 пар соседних. Из условия следует, что сумма чисел с первого по четвёртое равна сумме чисел с третьего по шестое, поэтому сумма чисел в первой паре равна сумме чисел в третьей паре. Далее, аналогично, эти суммы равны суммам в пятой, седьмой, второй, четвёртой и шестой парах. Следовательно, суммы чисел в каждой паре равны 15 и, ввиду их положительности, каждое число меньше 15.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Доказано, что сумма любых двух чисел, стоящих рядом, равна 15. | 5 |
| Доказано, что любые два числа, стоящие через одно, равны (в решении можно обойтись и без этого!). | 3 |
| Доказано, что любые два числа, стоящие через три, равны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |