PDF-версии: 
i
Кощей придумал для Ивана-дурака испытание. Он дал Ивану волшебную дудочку, на которой можно играть только две ноты — до и си. Для прохождения испытания Ивану нужно сыграть какую-нибудь мелодию из 300 нот на свой выбор. Но до того, как он начнёт играть, Кощей выбирает и объявляет запретными одну мелодию из пяти нот, одну — из шести нот, ..., одну — из 30 нот. Если в какой-то момент последние сыгранные ноты образуют одну из запретных мелодий, дудочка перестаёт звучать. Сможет ли Иван пройти испытание, какие бы мелодии Кощей ни объявил запретными?
По индукции докажем, что 
для всех натуральных n. 
Предположим, что неравенство 
верно для всех k, меньших n. Покажем, что тогда 
Заметим, что 
и часть вычитаемых мелодий могут быть одинаковыми, но поскольку мы пишем оценку снизу, всё правильно.)
и шаг индукции доказан. Поскольку 
и 
положительны, то из доказанного неравенства следует, что 
— возрастающая последовательность положительных чисел. Следовательно, 
и Иван справится с испытанием Кощея.
штук
Из них мелодий, содержащих запрещённые Кощеем мелодии, не больше 
за скобками — все остальные). Таким образом, найдётся бесконечная мелодия, которая не содержит запретных мелодий, и для прохождения испытания Ивану достаточно сыграть её кусок длины 300.
» — решение в целом верное, но некоторые промежуточные шаги недостаточно обоснованы.
» — решение содержит некоторые важные идеи, которых, однако, недостаточно для полного решения.