PDF-версии: 
Высоты AA1, BB1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Пусть M — середина стороны BC, K — середина B1C1. Докажите, что окружность, проходящая через K, H и M, касается AA1.
Решение. Заметим, что отрезок BC виден под прямым углом из точек B1 и C1. Значит, точки B, C, B1, C1 лежат на одной окружности с центром в точке M. Поскольку MK является медианой, направленной к основанию равнобедренного треугольника B1C1M, она же является высотой.
Заметим, что ∠BCC1 = 90° − ∠B = ∠BAH = ∠C1B1B, так как четырёхугольник AB1HC1 вписанный (∠AC1H = ∠AB1H = 90°). Аналогично ∠B1C1C= ∠B1BC. Значит, треугольники BCH и C1B1H подобны. Точки K и M являются серединами соответствующих сторон, так что подобны также B1HK и CHM. Отсюда ∠B1KH = ∠CMH. Тогда ∠MKH = 90° − ∠HKB1 = 90° − ∠A1MH = ∠MAH. Значит, по свойству касательной прямая AA1 касается окружности, описанной около MHK.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено полное доказательство. | 20 |
| Показано, что ∠B1KH = ∠CMH или аналогичное. | 12 |
| Показано, что B1C1 ⊥ MK. | 8 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 20 |